テーマＮｏ．１０４９　　

　　　　　　　　　 村上和男(静岡大学理工学研究科)
　　　　　　 Kazuo Murakami(Shizuoka University )　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　

１.　はじめに

金管楽器の音高特性は最も基本的な設計要件であるが，既存の金管楽器の音高特性は必ずしも満足できるものではなく，吹奏可能な範囲で奏者の音感により補正しているのが実情で，楽器本体の音高特性の改善が必要である。特にまだ習熟度の低い初級者にとって, よりよい音高特性の金管楽器が求められている[22] 。

マウスピースの設計手法としては基準とする管体とマウスピースを設定して，まず吹奏感と音質を評価関数としてカップ形状を決め，スロート形状を決める。次に音高特性(ピッチとバランス)を調整するためにバックボアの内径形状と長さを決め，再度，音圧の伝達特性を評価することになろう。実際の設計に適用して運用していくことで，形状設計と音色も含めた吹奏感とを対応付ける設計理論を確立できるであろう。

本章では，実際の吹奏時の音高に係わる奏法を解析して，この奏法を考慮した音高特性の改善方法と音高設計システムを示すことを目的とする。前章の2.3節でトランペットの管体を円錐台要素の組み合わせとしてモデル化し，まず唄口端を閉端として，従来のキャビティ・レゾナンスの手法(CR法)によりモデル管体の共振特性（レゾナンスカーブ）を算出し実験と比較してモデル化精度を検証した。本章の3.2節では実際に吹奏する場合を想定して，唄口端の実効入力インピーダンスを算出し，さらに唄口端の相対角（本文中で定義する）の周波数特性に対して，吹奏時の音高に関する奏法の特徴を定量的に検討考察する。3.3節では金管楽器吹奏系の共鳴周波数に関する線形モデルを示し，本文中で詳述する，吹奏パターンと等価付加長さを定義して定量化する。3.4節ではこの吹奏法を考慮したトランペットの音高設計システムを構築して実トランペットの音高特性設計に適用した例を示し，システムの有用性と吹奏パターン設定の妥当性を検証する。おわりにでは今後の課題を示す。



2.　唄口端実効入力インピーダンスの定義

本節では第1吹奏系モデルとして吹奏時の音高の実測値から唄口端の入力インピーダンスを推定する。

　　　　　　　　＜Fig.1-2-1＞　　　第1吹奏系モデル



　　　２．１　音高に関する吹奏法の検討

前章のキャビティ・レゾナンスの手法により求めた共振周波数の計算値と吹奏値（音高）は数十セントずれる。計算の精度は±２セントを確保しているので，その差は定在波の共振周波数の計算に用いる唄口端の境界条件として閉端［θin=(0，jπ/2)］が実際に吹奏する場合と差異があることによると推測される。
Fig.3-1に A-Trumpetの場合の管体の共振周波数の計算値(実線)と，奏者T（○印）と奏者K（×印）が自然に吹き易いピッチで吹いた場合の吹奏値の例を示す。横軸は半音階の音名(実音)を示し，1〜31が半音階の音名E〜Bbに対応する。共振モードの次数を併記する。縦軸は標準音高からのずれをセントで示す。半音が100セントである。

　　＜Fig.3-1＞ A-Trumpetの場合の管体の共振特性と奏者T（○印）と奏者K（×印）の吹奏音高実測値

ずれ量は奏者ごとに違う。２次のモードでは管の共振点は低めであるが実奏上はそれより高めとなる。3次から6次のモードでは吹奏値は低めとなる。図には示さないが実際に吹奏可能な範囲は２次，３次では共振点を挟んで40〜50セント，中音域から高音域は100セント（約半音）位の幅がある。但し，奏者Tは７次，８次では50〜60セント位と狭い。奏者T(○印)は吹奏可能な範囲で低めに，奏者K(×印)は高めに吹奏する傾向がある。複数回の測定でも奏者Tのほうが再現性が良く安定している。また両者に共通して，８次共振でその範囲が管体の共振点より高く，したがって，高音域では管の共振点は基準周波数より多少低めのほうが望ましいと思われる。尚，第１次共振モードはその共振周波数は公称周波数すなわちFig.3-1の0セントに対してかなり低い方にずれており一般には実用に供さない。

　　　２．２　唄口端実効入力インピーダンスと相対角の定義

ここで開口端からの放射音の周波数を吹奏値(実測値)に設定して，開口端に共振条件[θout=(0，j0)]を適用して，開口端から唄口端に向かって管要素断面ごとの音響インピーダンス値の計算を進めて管要素が唄口端に到達したときの値を吹奏時の唄口端実効入力インピーダンス[Zin(eff.)]とする。このときのθをθin(eff.)としてθin(eff.)=π(α-jβ)とおく。
吹奏時の唄口端の複素位相[θin(eff.)]を算出するために，Fig.2-2のモデルで，開口端からの任意周波数の入射音に対する唄口端入力インピーダンスを(2.3)式でｒ＝0として求め，その複素位相θの虚数部πβを算出する。このπβを相対角と呼ぶことにする。
以降，θin(eff.)はπβを指すことにする。この相対角は共振点の前後で周波数が増加するに従ってマイナス零側からから-π／2となり共振点でπ／2に反転して次第に零に近づく。すなわち吹奏時の定在波の周波数では相対角πβは±π／2とは限らずこれに近い値をとることになる。



３．　吹奏系の音高に関する線形モデル

　　　３．１　吹奏パターンと吹奏推定値

各共振モードに対してある幅の音高で吹奏することは可能であるが，管体の共振特性に逆らわずに，各奏者にとって最も吹き易い音高で複数の奏者に吹いてもらうと，Fig.3-1に示したように奏者により低めの音高をとる場合と高めとなる場合の２つの奏法に分かれる。ここでは低めのピッチで吹き，安定して再現性のある奏者Tを基準奏者として，その実測音高値に対する唄口端の相対角の計算値を全音域に渡って平滑化してこれを吹奏パターン［θ0(ω)］とする。これは音高に関する奏法の特徴を表わしている。この吹奏パターンを唄口端の境界条件として共振周波数を算出すれば，実際の吹奏に対応する音高特性値が求まり，これを吹奏時の音高推定値（以下、吹奏推定値という）とすることができる。
前述の低めのピッチで安定した奏法の奏者Tの吹奏パターンを捕らえるために，吹奏時の実効インピーダンスの相対角θin(eff.)を求めた。縦軸に実効インピーダンスの相対角を±π／2を中心に，横軸に音名(実音)をとってFig.3-2に示す。Bb管２機種（A-Tr.,B-Tr.）を夫々●印，○印で，C管１機種（C-Tr.）のデータを×印で示す。破線はこれらの平均値を表わす。モード次数はBb管について示してあるがC管では右に２つづれることになる。
オープン運指の２次のモードで-1.520位であるが，ピストンを押し込んで管長が長くなるに従って2次のモードの値は−π／2に近づきプラス側の値となる。平均値で３次モード,６次モード付近で変曲して低い値を示すのは，Bb管の共振点が高いのを少なからず下げる方向に修正していると考え，この区間はＣ管の値を採用して，音高だけに依存する吹奏パターンとして図の実線の値を設定する［θ0(ω)］。
より連続的な特性のほうが人間にとってより自然で吹き易いと想定して，連続的な滑らかな曲線に設定する。

　　　＜Fig.3-2＞　吹奏時の実効入力インピーダンスの相対角（奏者Tの場合）

かくして得られた吹奏パターンを唄口端の入力条件として計算した共振周波数を吹奏推定値とすることにより楽器の音高特性を表わすことができる。この特性をできるだけ一定のピッチでフラット（平坦）にすることが音高設計の目標になり，大きく外れる所を改善することが音高特性を改良することになる。このとき音速Cは346ｍ/sec（25度Cにて）を想定する。こうして求める吹奏推定値はその管楽器の音高特性を規定するものであり，今まで曖昧であった金管楽器の音高の考え方について，ひとつの基準を与えるものである。奏者Kのように高めのピッチで吹く奏者は抜差管を適宜伸ばしてピッチを調整することになる。

　　　３．２　等価付加長さ

ここで実効入力インピーダンスの相対角の説明のために等価付加長さの考えを導入する。等価付加長さとは唄口端閉端（θinの虚数部が±π/2の値をとる）に対して，実際に吹奏する場には，唄口端の相対角は±π/2とは限らず，これを実効的閉端位置が前後するものとして，唄口端から実効的閉端位置までの距離を一定径（10φ）の仮想の円筒管の長さで表わしたものである。“唄口端より前側に縮めて吹く場合”の付加長さΔLは負，“唄口端より後ろ側に伸ばして吹く場合”の付加長さΔLは正とする。これらの関係を唄口端閉端位置（θin軸）を基準にして，模式的にFig.3-3に示す。横軸（L）は管の中心線に沿う長さを示す。

　　　＜Fig.3-3＞　唄口端の相対角と付加長さの説明図

この定義に従って，Fig.3-2に示した相対角による吹奏パターンに対応する付加長さの計算例をFig.3-4に示す。縦軸は付加長さΔL（mm）を示す。各符号はFig.3-3と同じである。

　　　＜Fig.3-4＞　付加長さの計算例

最低音域の第２次の共振モードでは付加長さはマイナスで，全管長が短くなるにしたがってマイナスの付加長さの絶対値は順次短くなり，プラス側に伸ばす方向になる。３次モードで反転して，これより高次モードになるにしたがって次第に付加長さは短くなって第８次では付加長さはマイナスとなる。付加長さにより奏法の特徴を定量的に説明できる［23］。



4.　金管楽器の音高設計への適用

以下に述べる２つのケースに分かれる。ケース1は既に製品化されているものの音高特性を一部改良する場合である。ケース２は全面的に見直してモデルチェンジする場合で，参考にすべきモデルが既に手元にあってこれを凌駕するものを新たに開発する場合である。ここでは２のケースとしてTrumpetの音高設計に適用した事例を紹介する。

金管楽器の場合はひとつの音響管をその低次から高次までの複数の共振モードを使うため，そのバランスが音高特性に影響し，特定の音高のみを対象として音高を定めるわけにいかない。問題となる音高を最適化しようとする場合にはそのことに留意する必要がある。
吹奏法を考慮した音高設計の手順をFig.3-5 (a)に，試設計の手順の詳細をFig.3-5 (b)に示す。

　　　　＜Fig.3-5 (a)＞　音高設計の手順 　　　　　＜Fig.3-5 (b)＞　試設計の詳細手順　

まずモデル管体の特性値として，共振周波数，管内音圧分布，唄口端の相対角の周波数特性を算出する。さらに，要素の長さ変化，管内音圧分布の腹部・節部の径変化の共振周波数への影響を検討しておく。Trumpetの場合は夫々の抜差管を単独に１mm伸ばすと約１セント下がる。これらのことを目安として試設計を進めることになる。

次に前述の音高だけに依存する吹奏パターンとして[θ0(ω)]を仮定し，吹奏時の所望のピッチ ＋30セントを想定して，目標とする共振周波数特性を中音域の３次から６次でほぼ平坦（＋50セント）で，高音域の８次で多少下がる特性[H0(ω)]に仮定する。これをFig.3-6に破線で示す。試設計の出発点とするA-Trumpetの特性（共振周波数特性を細い実線，吹奏推定値を細い灰色線）をあわせて示す。

次に試設計の段階にはいる。H0(ω)を参照しつつ改めるべき共振に着目して，その音圧分布の腹部・節部にあたる要素の内径を変更してみる。製作上，吹き込み管部，ホーン部が変更に対する自由度が高い。できるだけ内径の不連続部を減らし，実用的に製作可能な形状にする。音圧分布の腹部と節部にあたる要素の径変化に対して効果が得られ，広範囲に変更すればその効果は大きいが，他の共振モードへの影響も無視できなくなる。さらに抜差管の長さを変えてみる。以上のあらゆる組み合わせについて共振周波数特性を計算してみて満足のいく特性が得られたら，吹奏パターン［θ0(ω)］を唄口端の値として吹奏時の音高を推定算出してみる。Fig.3-6に新規な試設計の例として，Trumpet-B2の共振周波数特性(太い実線)と吹奏推定値(太い灰色線)を示す。

　　　　＜Fig.3-6＞　　試設計モデル（B2）の特性

共振周波数特性では３次・４次が下がり，５次・６次が平坦化して当初設定したH0(ω)に近い特性となっている。吹奏推定値ではA-Trumpetの平均ピッチが＋25セント，変動が±25セントに対してTrumpet-B2では平均ピッチが＋30セント，変動が±15セントとなっている。B2はピッチは＋30セントでA−Trumpetより5セント高めとなって，変動幅は30セントとA-Trumpetの変動幅50セントより20セント改善されている。こうして求めた吹奏推定値が中音域でほぼ平坦で，目標のピッチに近いものであれば，次に試作の段階に進む。実際に試作して出来上がる管体の音高特性は，設計値（吹奏推定値）に近い平坦な特性となるはずである。

　　　　＜Fig.3-7＞　　試作モデル（B2）の共振特性と吹奏推定値と吹奏値例

Fig.3-7に示すのは試作モデル(B2)をバロックトランペットの名手，エドワード・タール氏が吹奏した例(×印)である。できるだけ管体の共振周波数特性(実線)に逆らわずに，音程感で補正しないで，吹き易い音高で吹いてもらった。しかも音程感で補正されないようにランダムな順番で吹いてもらったものである。一部に多少のずれはあるものの吹奏推定値(破線)と吹奏値(×印)は良くあっていてほぼピッチが（30中心±10幅）セントに入っており，原モデルのピッチ（25中心±20幅）セントより改善されている。タール氏の奏法は基準奏者に近い奏法であると言える。吹奏パターンθ0(ω)の規定が妥当であると言える。



5.　おわりに

金管楽器の音響解析課題の中で，特に定常音の音高の問題について，まずトランペットの吹奏系をモデル化して実奏時の音高に関する奏法を検討した。基準奏者の吹奏パターンを吹奏条件として音高設計システムを構築し，トランペットの新規設計に適用して，システムの有用性を検証した。楽器が使われる現場において，基準奏者とは異なる奏者に対するピッチ設定とチューニングの問題があるが，本手法は音高に関する奏法の解析評価にも適用することができ，よりよい奏法への指導のために有効であろう。又，個々の奏者の奏法に対応する音高特性に楽器を改造したり，ピッチのチューニング法に指針を与えたりすることができよう。

本報告で取り上げたトランペットを代表とする金管楽器の場合は，共通の音響管で複数の共振モードを使うため，共振点の間隔が音高特性に影響し，特定の音高のみを対象として音高を定めるわけにいかない難しさがある。金管楽器の音高設計は，ピッチの設定と改善すべき特定の音高と音域について, 実現可能な形状仕様の範囲で音高特性を最適化する問題となる。そのために現在は設計者がコンピュータとインタラクティブに設計作業を進めることになるが，設計条件と評価判断をルーチン化することにより最適化のための自動設計システム構築が可能となる。